Question

19．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定義一種運(yùn)算“*”，當(dāng)a，b∈S時(shí)，a*b=$\frac{a+b}{1+ab}$．
（1）求證：a*b=S；
（2）求證：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用作差比較法可得$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），從而可證a*b=S；
（2）直接運(yùn)用新定義，兩邊同時(shí)化簡(jiǎn)，即可證明等式．

解答 證明：（1）因?yàn)閍，b∈S，所以，a，b∈（-1，1），
即a²∈（0，1），b²∈（0，1），再作差比較如下，
記△=1-$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$=$\frac{（1+ab）^2-（a+b）^2}{（1+ab）^2}$
=$\frac{（1-a^2）（1-b^2）}{（1+ab）^2}$＞0恒成立，
所以，$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$＜1，即$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），
所以，a*b∈S；
（2）左邊=（a*b）*c=$\frac{a+b}{1+ab}$*c=$\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}•c}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
右邊=a*（b*c）=a*$\frac{b+c}{1+bc}$=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a•\frac{b+c}{1+bc}}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
所以，左邊=右邊．
即（a*b）*c=a*（b*c）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用作差法證明不等式，以及運(yùn)用新定義運(yùn)算證明等式，屬于中檔題．