Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的準線為L，焦點為F，⊙M的圓心在y軸的正半軸上，且與x軸相切，過原點作傾斜角為

π

6

的直線n，交L于點A，交⊙M于另一點B，且|AO|=|OB|=2
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）過L上的動點Q作⊙M的切線，切點為S、T，求當坐標原點O到直線ST的距離取得最大值時，四邊形QSMT的面積．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）畫出圖形，設準線交y軸于N，在直角三角形ANO中，結合已知條件求出|ON|即p的值，則拋物線方程可求，在三角形MOB中，由三角形為正三角形得到|OM|的值，從而求得圓的方程；
（Ⅱ）設出兩個切點的坐標，求出兩條切線的方程，進一步得到ST所在直線方程，寫出原點到ST的距離，分析可知當a=0時即Q在y軸上時原點到ST的距離最大，由此求出ST與MQ的長度，則四邊形QSMT的面積可求．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，

設準線L交y軸于N(0，-

p

2

)，在Rt△OAN中，∠OAN=

π

6

，
∴|ON|=

|OA|

2

=1，
∴p=2，則拋物線方程是x²=4y；
在△OMB中有OM=OB，∠MOB=

π

3

，
∴OM=OB=2，
∴⊙M方程是：x²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），Q（a，-1）
∴切線SQ：x₁x+（y₁-2）（y-2）=4；切線TQ：x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
∵SQ和TQ交于Q點，
∴ax₁-3（y₁-2）=4和ax₂-3（y₂-2）=4成立，
∴ST方程：ax-3y+2=0．
∴原點到ST距離d=

2

a2+9

，當a=0，即Q在y軸上時d有最大值．
此時直線ST方程是y=

2

3

．
代入x²+（y-2）²=4，得x=±

2 5

3

．
∴|ST|=

4 5

3

，|MQ|=3．
此時四邊形QSMT的面積S=

1

2

×

4 5

3

×3=2

5

．

點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，其中涉及到拋物線以及圓的標準方程的求法，考查了圓的切線方程的求法及過圓切點的直線方程的求法，綜合考查了學生分析問題的能力和基礎的運算能力，是有一定難度題目．