Question

已知f（x）=x²-px+q，其中p＞0，q＞0．
（Ⅰ）當p＞q時，證明

f(q)

p

＜

f(p)

q

；
（Ⅱ）若f（x）=0在區(qū)間（0，1]，（1，2]內(nèi)各有一個根，求p+q的取值范圍；
（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n=f（n），n∈N^*，求a_n，并判斷{a_n}是否為等差數(shù)列？

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）當p＞q時，分別化簡

f(p)

q

、

f(q)

p

，再把它們作差判斷符號，即可證得結(jié)論．
（Ⅱ）由題意可得

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

，求得

p-q≥1 2p-q≤4

，畫出點（p，q）（p＞0，q＞0）組成的可行域，由線性規(guī)劃知識求得p+q的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）與第n項a_n的關(guān)系，求出數(shù)列的前兩項以及a_n+1-a_n的值，判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）∵

f(q)

p

=

q2-pq+q

p

=

q2+q

p

-q，

f(p)

q

=

p2-p2+q

q

=1，
∴

f(q)

p

-

f(p)

q

=

q2+q

p

-q-1=

(q+1)(q-p)

p

．
∵p＞q＞0，∴

(q+1)(q-p)

p

＜0，即

f(q)

p

-

f(p)

q

＜0，∴

f(q)

p

＜

f(p)

q

．
（Ⅱ）∵拋物線的圖象開口向上，且f（x）=0在區(qū)間（0，1]，（1，2]內(nèi)各有一個根，
∴

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

q＞0 1-p+q≤0 4-2p+q≥0

⇒

p-q≥1 2p-q≤4.

，∴點（p，q）（p＞0，q＞0）組成的可行域如圖所示，
設z=p+q，由線性規(guī)劃知識可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．

（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n=f（n）=n²-pn+q，n∈N^*，
當n=1時，a₁=s₁=1-p+q=1，∴p=q．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-pn+q）-[（n-1）²-p（n-1）+q]=2n-p-1．
∴a_n=

1 ， n=1 2n-(p+1) ，n≥2

．
再根據(jù) a₁=1，a₂=3-p，a_n+1-a_n=2 （n≥2），p＞0，q＞0，
可得{a_n}不是等差數(shù)列．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等產(chǎn)數(shù)列的定義和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．