【題目】已知圓柱底面半徑為1,高為,ABCD是圓柱的一個軸截面,動點M從點B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達點D,其距離最短時在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面ABCD繞著軸逆時針旋轉(zhuǎn)后,邊與曲線相交于點P.
(Ⅰ)求曲線長度;
(Ⅱ)當時,求點到平面APB的距離;
(Ⅲ)證明:不存在,使得二面角的大小為.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 不存在
【解析】試題分析:(Ⅰ)在側(cè)面展開圖中根據(jù)幾何性質(zhì)求解;(Ⅱ) 建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面ABP的一個法向量及向量 ,利用空間向量點到直線距離公式求解;(Ⅲ)假設(shè)存在滿足要求的,在空間坐標系中求出法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,列出關(guān)于的方程,看是否有解即可.
試題解析:(Ⅰ) 在側(cè)面展開圖中為BD的長,其中AB = AD = π,
∴的長為;
(Ⅱ)當時,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則有、、、,
、、
設(shè)平面ABP的法向量為,則,
取z = 2得,所以點C1到平面PAB的距離為;
注:本題也可以使用等積法求解.
(Ⅲ) 假設(shè)存在滿足要求的,
在(II)的坐標系中, ,
,
設(shè)平面ABP的法向量為,則
,
取x1 = 1得,
又平面ABD的法向量為,
由二面角的大小為,
則 .
∵,∴時,均有,與上式矛盾.
所以不存在使得二面角的大小為.
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【題目】如圖, 是平行四邊行, 平面, // , , , .
(1)證明: //平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求直線與平面所成角的正弦值;
(4)求二面角 的平面角的正切值.
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【題目】若圓上有四個不同的點到直線的距離為2,則的取值范圍是( )
A. (-12,8) B. (-8,12) C. (-13,17) D. (-17,13)
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【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)設(shè)是棱上的點,當平面時,求二面角的余弦值.
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【題目】已知∠A1,∠A2,…,∠An為凸多邊形的內(nèi)角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,則這個多邊形是( )
A. 正六邊形 B. 梯形
C. 矩形 D. 含銳角的菱形
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【題目】已知函數(shù),其中, , 是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),證明: .
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,移動支付(又稱手機支付)越來越普通,某學校興趣小組為了了解移動支付在大眾中的熟知度,對15-65歲的人群隨機抽樣調(diào)查,調(diào)查的問題是“你會使用移動支付嗎?”其中,回答“會”的共有個人.把這個人按照年齡分成5組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中,第一組的頻數(shù)為20.
(1)求 和的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);
(2)從第1,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人,求第1,3,4組抽取的人數(shù);
(3)在(2)抽取的6人中再隨機抽取2人,求所抽取的2人來自同一個組的概率.
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