Question

14．已知函數(shù)f（x）=（2$\sqrt{3}$cosωx+sinωx）sinωx-sin²（$\frac{π}{2}$+ωx）（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三家恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ） 由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}cosωxsinωx+{sin^2}ωx-{cos^2}ωx$
=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）$．
由函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，知$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{4}$，
即ω=1，所以$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$，k∈Z．
（Ⅱ）因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
所以$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，所以-1≤f（x）≤2，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．