Question

圓C：x²+y²-2x-2y-7=0，設(shè)P是該圓的過點(diǎn)（3，3）的弦的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由題意求出圓C的圓心為C（1，1），設(shè)A（3，3），由垂徑定理得PC⊥AP，可得點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出以AC為直徑的圓的圓心為B（2，2）、半徑R=

2

，得到其方程為為（x-2）²+（y-2）²=2，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：∵圓C：x²+y²-2x-2y-7=0，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圓心為C（1，1），半徑r=3．
設(shè)A（3，3），連結(jié)PC
∵P是該圓的過點(diǎn)（3，3）的弦的中點(diǎn)，
∴PC⊥AP，可得點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
∵|AC|=

(3-1)2+(3-1)2

=2

2

，AC的中點(diǎn)為B（2，2）
∴以AC為直徑的圓的圓心為B（2，2），半徑R=

1

2

|AC|=

2

，
其方程為（x-2）²+（y-2）²=2，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
故答案為：（x-2）²+（y-2）²=2

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線與已知圓相交，求截得弦的中點(diǎn)軌跡方程．著重考查了垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，考查了軌跡方程的求法，屬于中檔題．