Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂x+2x-1．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，得到f（x₁）-f（x₂）=（log₂x₁-log₂x₂）+2（x₁-x₂），從而證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）可以得到$f（\frac{1}{2}）=-1＜0，f（1）=1＞0$，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，從而得出f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)只有一個零點．

解答 解：（1）證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
f（x₁）-f（x₂）=log₂x₁+2x₁-log₂x₂-2x₂=（log₂x₁-log₂x₂）+2（x₁-x₂）；
∵x₁＞x₂＞0；
∴l(xiāng)og₂x₁＞log₂x₂，log₂x₁-log₂x₂＞0，且x₁-x₂＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且$f（1）=1＞0，f（\frac{1}{2}）=-1＜0$；
∴f（x）在（0，+∞）上只有一個零點．

點評 考查增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點的定義，及函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法．