Question

4．已知函數(shù)φ（x）=x²+ax+b，f（x）=$\frac{φ（x）-ax}{x}$．
（1）當(dāng)f（1）=f（4），函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀＞0時(shí)，求k的值；
（2）求證：存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=f（4），求出b，結(jié)合基本不等式，利用函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀＞0時(shí)，求k的值；
（2）由題意，a=$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]，即可證明存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{φ（x）-ax}{x}$=$\frac{{x}^{2}+b}{x}$，
∵f（1）=f（4），
∴$\frac{1+b}{1}$=$\frac{16+b}{4}$，
解得，b=4；
故f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{{x}^{2}+4}{x}$≥4；
∵函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，
∴k=4；
（2）證明：由題意，a=$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]，
∴x₀∈[-1，1]，|φ（x₀）|≥|$\frac{1}{2}$[φ（1）+φ（-1）]|≥|$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]|
∴存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查不等式的證明，屬于中檔題．