【題目】已知橢圓E:過點(0,1)且離心率.

()求橢圓E的方程;

()設動直線l與兩定直線l1:xy=0l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

【答案】()y2=1 ()存在,最小值為1

【解析】

()由題意可得,根據(jù)離心率及間的關系即可求解 ()當直線l的斜率不存在時,易知SOPQ,當直線l的斜率存在時,設直線l:y=kx+m,k≠±1,根據(jù)點到直線的距離公式和三角形面積公式,借助函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

()由已知得b=1,,a2=b2+c2,

解得a,b=c=1,

所以橢圓的E方程為y2=1,

()當直線l的斜率不存在時,直線lxx,

都有:SOPQ22.

當直線l的斜率存在時,設直線l:y=kx+m,k≠±1,

,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,

∴△=8m2+8+16k2,由題可知,=0,m2=2k2+1,

可得P(,);同理可得Q(,).

由原點O到直線PQ的距離為d|PQ|=2|m|,

可得SOPQd|PQ|=||,

m2=2k2+1,

SOPQ,

1k2<0,k>1k<1,SOPQ22,

1k2>0,即﹣1<k<1,SOPQ2,

因為0<1k21,

所以3,

所以SOPQ21,當且僅當k=0時等號成立.

綜上,k=0,OPQ的面積存在最小值為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列四個命題中,真命題是( 。

A.和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線

B.和兩條異面直線都相交于不同點的兩條直線是異面直線

C.和兩條異面直線都垂直的直線是異面直線的公垂線

D.、是異面直線,、是異面直線,則、是異面直線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若不等式的解集為,求a的值;

(2)在(1)的條件下,若存在,使,求t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=|x+1|+2|xm|

1)當m2時,求fx≤9的解集;

2)若fx≤2的解集不是空集,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形為矩形,,,為線段上的動點.

1)若為線段的中點,求證:平面

2)若三棱錐的體積記為,四棱錐的體積記為,當時,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是正方形,,EPC上一點,當FDC的中點時,EF平行于平面PAD.

(Ⅰ)求證:平面PCB;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知點.若曲線上存在兩點,使為正三角形,則稱型曲線.給定下列三條曲線:

;

其中型曲線的個數(shù)是

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足;數(shù)列滿足;數(shù)列為公比大于1的等比數(shù)列,且為方程的兩個不相等的實根.

1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式;

2)將數(shù)列中的第項,第項,第項,……,第項,……刪去后剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前2013項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的通項公式為,其中.

1)若是正項數(shù)列,求的取值范圍;

2)若,數(shù)列滿足,且對任意,均有,寫出所有滿足條件的的值;

3)若,數(shù)列滿足,其前n項和為,且使ij至少4組,、、……、中至少有5個連續(xù)項的值相等,其它項的值均不相等,求,滿足的充要條件并加以證明.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案