【題目】已知數(shù)列滿足;數(shù)列滿足;數(shù)列為公比大于1的等比數(shù)列,且,為方程的兩個不相等的實根.
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式;
(2)將數(shù)列中的第項,第項,第項,……,第項,……刪去后剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前2013項和.
【答案】(1);(2);(2).
【解析】
(1)根據(jù)的通項公式計算得出數(shù)列的通項公式,利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合已知可以求出的值,最后寫出數(shù)列的通項公式;
(2)根據(jù)題意可以知道數(shù)列刪去哪些項,剩下哪些項,根據(jù)等比數(shù)列可知:剩下組成新的數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別也是等比數(shù)列,這樣利用分組求和,利用等比數(shù)列前項和公式求和即可.
(1)∵,
∴.
∵,為方程的兩個不相等的實根,
∴,,又公比大于1,設(shè)公比為,所以
解得,,∴.
(2)由題意將數(shù)列中的第3項、第6項、第9項、…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)項數(shù)列與偶數(shù)項數(shù)列仍成等比數(shù)列,首項分別是,,公比均是8,
.
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【題目】已知函數(shù),,函數(shù),記.把函數(shù)的最大值稱為函數(shù)的“線性擬合度”.
(1)設(shè)函數(shù),,,求此時函數(shù)的“線性擬合度”;
(2)若函數(shù),的值域為(),,求證:;
(3)設(shè),,求的值,使得函數(shù)的“線性擬合度”最小,并求出的最小值.
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【題目】已知橢圓E:過點(0,1)且離心率.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖所示,直四棱柱的側(cè)棱長為,底面是邊長的矩形,為的中點,
(1)求證:平面,
(2)求異面直線與所成的角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).
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【題目】設(shè)為正整數(shù),若兩個項數(shù)都不小于的數(shù)列,滿足:存在正數(shù),當(dāng)且時,都有,則稱數(shù)列,是“接近的”.已知無窮等比數(shù)列滿足,無窮數(shù)列的前項和為,,且,.
(1)求數(shù)列通項公式;
(2)求證:對任意正整數(shù),數(shù)列,是“接近的”;
(3)給定正整數(shù),數(shù)列,(其中)是“接近的”,求的最小值,并求出此時的(均用表示).(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】為響應(yīng)綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機(jī)變量.現(xiàn)統(tǒng)計了次路上開車花費時間,在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數(shù) |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”,設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】為響應(yīng)綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機(jī)變量.現(xiàn)統(tǒng)計了次路上開車花費時間,在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數(shù) |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”,設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】設(shè)點分別是棱長為2的正方體的棱的中點.如圖,以為坐標(biāo)原點,射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求向量與的數(shù)量積;
(2)若點分別是線段與線段上的點,問是否存在直線,平面?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,離心率為,A為橢圓C上一點,且AF2⊥F1F2,且|AF2|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左右頂點為A1,A2,過A1,A2分別作x軸的垂線 l1,l2,橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k≠0)與l1,l2交于M,N兩點,試探究是否為定值,并說明理由.
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