已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{
an
2n
}的前n項(xiàng)和,求Tn;
(3)設(shè)bn=
1
anan+1an+2
,證明:b1+b2+b3+…+bn
1
32
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)在已知遞推式中取n=n-1得另一遞推式,兩式作差后可得an+1-an=2(n≥2),驗(yàn)證a2-a1=2,說(shuō)明數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則通項(xiàng)公式可求;
(2)把(1)中求得的an代入{
an
2n
},然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{
an
2n
}的前n項(xiàng)和Tn
(3)把(1)中求得的an代入bn=
1
anan+1an+2
,利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,然后放縮證得不等式b1+b2+b3+…+bn
1
32
解答: (1)解:由nan+1=Sn+n(n+1),得
(n-1)an=Sn-1+(n-1)n (n≥2),
兩式相減得nan+1-(n-1)an=an+2n,即an+1-an=2(n≥2).
a1=2
a2=S1+2
S1=a1
,得a2-a1=2.
∴對(duì)一切正整數(shù)n,有an+1-an=2,
故an=a1+2(n-1)=2n,
an=2n(n∈N*);
(2)由(1),得
an
2n
=
2n
2n
=
n
2n-1

Tn=1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
 ①
①兩邊同乘以
1
2
,得
1
2
Tn=
1
2
+
2
22
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n
 ②
①-②,得
1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
,
1
2
Tn=
1-
1
2n
1-
1
2
-
n
2n
,
Tn=4-
n+2
2n-1
;
(3)由(1),得bn=
1
2n•2(n+1)•2(n+2)
=
1
16
[
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2)
]
,
b1+b2+b3+…+bn=
1
16
(
1
1×2
-
1
2×3
+
1
2×3
-
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2)
)

=
1
16
(
1
2
-
1
(n+1)(n+2)
)
=
1
32
-
1
16(n+1)(n+2)
1
32
點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列與不等式的綜合題,訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式,考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,體現(xiàn)了放縮法證明不等式的解題思想,是中高檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),且對(duì)任意n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1成等差數(shù)列,a2n,a2n+1,a2n+2成等比數(shù)列.
(1)若a2=1,a5=3,求a1的值;
(2)設(shè)a1<a2,求證:對(duì)任意n∈N*,且n≥2,都有
an+1
an
a2
a1

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已知函數(shù)f(x)=(1+tanx)cos2x的定義域?yàn)椋?,
π
2
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設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[π]=3,[-2.3]=-3.給出下列命題:
①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x-1<[x]≤x;
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函數(shù)f(x)=[x•[x]],當(dāng)x∈[0,n)(n∈N*)時(shí),令f(x)的值域?yàn)锳,記集合A的元素個(gè)數(shù)為an,則
an+49
n
的最小值為
19
2

其中所有真命題的序號(hào)是
 

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y≥x
x+3y≤4
x≥-2
,則z=|x-3y|的最大值為
 

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在球O的內(nèi)接四面體ABCD中,DA⊥DC,DB⊥DC,∠ADB=120°,且DC=2
2
,DA=DB=1,則球O的表面積是
 

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盒中有3張分別標(biāo)有1,2,3的卡片.從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回,再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼,則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為
 

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若集合A={x||x|+x>0},B={x|x2-5x+6≥0},則A∩B=( 。
A、{x|2≤x≤3}
B、{x|0≤x≤2或x≥3}
C、{x|0<x≤2或x≥3}
D、{x|x≥3}

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