已知數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和為S
n,且滿足a
1=2,na
n+1=S
n+n(n+1).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式a
n;
(2)設(shè)T
n為數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和,求T
n;
(3)設(shè)b
n=
,證明:b
1+b
2+b
3+…+b
n<
.
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)在已知遞推式中取n=n-1得另一遞推式,兩式作差后可得a
n+1-a
n=2(n≥2),驗(yàn)證a
2-a
1=2,說(shuō)明數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,則通項(xiàng)公式可求;
(2)把(1)中求得的a
n代入{
},然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和T
n;
(3)把(1)中求得的a
n代入b
n=
,利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和,然后放縮證得不等式b
1+b
2+b
3+…+b
n<
.
解答:
(1)解:由na
n+1=S
n+n(n+1),得
(n-1)a
n=S
n-1+(n-1)n (n≥2),
兩式相減得na
n+1-(n-1)a
n=a
n+2n,即a
n+1-a
n=2(n≥2).
由
,得a
2-a
1=2.
∴對(duì)一切正整數(shù)n,有a
n+1-a
n=2,
故a
n=a
1+2(n-1)=2n,
即
an=2n(n∈N*);
(2)由(1),得
==,
∴
Tn=1+++…+ ①
①兩邊同乘以
,得
Tn=++…++ ②
①-②,得
Tn=1+++…+-,
∴
Tn=-,
故
Tn=4-;
(3)由(1),得
bn==[-],
∴
b1+b2+b3+…+bn=(-+-+…+-)=
(-)=
-<.
點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列與不等式的綜合題,訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式,考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,體現(xiàn)了放縮法證明不等式的解題思想,是中高檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}的各項(xiàng)都為正數(shù),且對(duì)任意n∈N
*,a
2n-1,a
2n,a
2n+1成等差數(shù)列,a
2n,a
2n+1,a
2n+2成等比數(shù)列.
(1)若a
2=1,a
5=3,求a
1的值;
(2)設(shè)a
1<a
2,求證:對(duì)任意n∈N
*,且n≥2,都有
<
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=(1+tanx)cos
2x的定義域?yàn)椋?,
),則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?div id="bkwcdnp" class='quizPutTag' contenteditable='true'>
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[π]=3,[-2.3]=-3.給出下列命題:
①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x-1<[x]≤x;
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函數(shù)f(x)=[x•[x]],當(dāng)x∈[0,n)(n∈N
*)時(shí),令f(x)的值域?yàn)锳,記集合A的元素個(gè)數(shù)為a
n,則
的最小值為
.
其中所有真命題的序號(hào)是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
復(fù)數(shù)z=(3+i)•i的實(shí)部是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
設(shè)變量x,y滿足
,則z=|x-3y|的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
在球O的內(nèi)接四面體ABCD中,DA⊥DC,DB⊥DC,∠ADB=120°,且DC=2
,DA=DB=1,則球O的表面積是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
盒中有3張分別標(biāo)有1,2,3的卡片.從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回,再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼,則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
若集合A={x||x|+x>0},B={x|x2-5x+6≥0},則A∩B=( 。
A、{x|2≤x≤3} |
B、{x|0≤x≤2或x≥3} |
C、{x|0<x≤2或x≥3} |
D、{x|x≥3} |
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