【題目】已知點P是長軸長為 的橢圓Q： 上異于頂點的一個動點，O為坐標(biāo)原點，A為橢圓的右頂點，點M為線段PA的中點，且直線PA與OM的斜率之積恒為 ．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）設(shè)過左焦點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于C，D兩點，線段CD的垂直平分線與x軸交于點G，點G橫坐標(biāo)的取值范圍是 ，求|CD|的最小值．

【答案】
（1）解：∵橢圓Q的長軸長為 ，∴ ．

設(shè)P（x0，y0），

∵直線PA與OM的斜率之積恒為 ，∴ ，

∴ ，∴b=1，

故橢圓的方程為


（2）解：設(shè)直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），

∴ ．

∴

∴CD的垂直平分線方程為 ，

令y=0，得

∵ ，∴ ，∴ ． = ，


【解析】（1）利用橢圓Q的長軸長為 ，求出 ．設(shè)P（x0 ， y0），通過直線PA與OM的斜率之積恒為 ，化簡求出b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中點N（x0 ， y0），利用韋達(dá)定理求出CD的垂直平分線方程，推出 ，利用弦長公式化簡，推出|CD|的最小值．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】給出如下四個命題：①e ＞2②ln2＞ ③π2＜3π④ ＜ ，正確的命題的個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】過橢圓 =1的右焦點F作斜率k=﹣1的直線交橢圓于A，B兩點，且 共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)三角形AOB的面積S△AOB= 時，求橢圓的方程．

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【題目】已知向量 ， ， （m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知圓，直線，.

（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）是否存在實數(shù)，使得圓上有四點到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由；

（3）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

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【題目】已知橢圓C的方程為 + =1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F1 ， F2分別為橢圓C的左，右焦點，過F2作直線l（與x軸不重合）交于橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為E，記直線F1E的斜率為k，求k的取值范圍．

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【題目】已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．
（1）求證：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的最大值．

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【題目】已知函數(shù) ，在下列命題中，其中正確命題的序號是.
⑴曲線 必存在一條與 軸平行的切線；
⑵函數(shù) 有且僅有一個極大值，沒有極小值；
⑶若方程 有兩個不同的實根，則 的取值范圍是 ；
⑷對任意的 ,不等式 恒成立；
⑸若 ，則 ,可以使不等式 的解集恰為 ；

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【題目】已知命題 ：直線 與直線 之間的距離不大于1，命題 ：橢圓 與雙曲線 有相同的焦點，則下列命題為真命題的是（ ）
A.
B.
C.
D.

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