Question

線段AB的中點(diǎn)O也是線段AB的重心，O具有以下性質(zhì)：①O平分線段AB的長(zhǎng)度；②

OA

+

OB

=

0

③O是直線AB上所有點(diǎn)中到線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)．由此推廣到三角形，設(shè)△ABC的重心為G，我們得到如下猜想：
A．G平分△ABC的面積（即△GAB、△GBC、△GAC面積相等）；
B．

GA

+

GB

+

GC

=

0

C．G是平面ABC內(nèi)所有點(diǎn)中到△ABC三邊的距離的平方和最小的點(diǎn)；
D．G是平面ABC內(nèi)所有點(diǎn)中到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)；
你認(rèn)為正確的猜想有

 

（填上所有你認(rèn)為正確的猜想的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,演繹推理的基本方法

專(zhuān)題：探究型

分析：對(duì)于A，根據(jù)三角形重心的定義，線段的端點(diǎn)到這條邊的中線的距離相等；對(duì)于B，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則

GA

+

GB

=2

GD

，根據(jù)

GC

=-2

GD

，可得

GA

+

GB

+

GC

=

0

；對(duì)于C，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，G是重心時(shí)，G到△ABC三邊的距離的平方和等于三條高的平方和的

1

9

；對(duì)于D，設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一點(diǎn)為（x，y），求出該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平方和，利用配方法，故可得結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于A，根據(jù)三角形重心的定義，線段的端點(diǎn)到這條邊的中線的距離相等，即A，C到BG的距離相等，所以△GAB、△GBC同底等高，所以△GAB、△GBC面積相等，同理、△GBC、△GAC面積相等，故△GAB、△GBC、△GAC面積相等，即G平分△ABC的面積，所以A正確；
對(duì)于B，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則

GA

+

GB

=2

GD

，∵

GC

=-2

GD

，∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，所以B正確；
對(duì)于C，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，G是重心時(shí)，G到△ABC三邊的距離的平方和等于三條高的平方和的

1

9

，所以正確；
對(duì)于D，設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一點(diǎn)為（x，y），則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平方和為：（x₁-x）²+（y₁-y）²+（x₂-x）²+（y₂-y）²+（x₃-x）²+（y₃-y）²=3x²-2x（x₁+x₂+x₃）+3y²-2y（y₁+y₂+y₃）+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²=3[x-

1

3

（x₁+x₂+x₃）]²+3[y-

1

3

（y₁+y₂+y₃）]²+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-

1

3

（x₁+x₂+x₃）²-

1

3

（y₁+y₂+y₃）²
顯然當(dāng)x=

1

3

（x₁+x₂+x₃），y=

1

3

（y₁+y₂+y₃）（重心坐標(biāo)）時(shí)上式取得最小值為x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-

1

3

（x₁+x₂+x₃）²-

1

3

（y₁+y₂+y₃）² ，所以D正確；
故答案為：ABCD

點(diǎn)評(píng)：本題考查類(lèi)比思想，考查學(xué)生的探究能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．