Question

【題目】已知函數(shù) 的圖象上存在不同的兩點 ,使得曲線 在這兩點處的切線重合，則實數(shù) 的取值范圍是 （ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】 當(dāng) 時， 的導(dǎo)數(shù)為 ； 當(dāng) 時， 的導(dǎo)數(shù)為 ， 設(shè) ， 為該函數(shù)圖象上的兩點，且 ， 當(dāng) ，或 時， ，故 ， 當(dāng) 時，函數(shù) 在點 處的切線方程為 ； 當(dāng) 時，函數(shù) 在點 處的切線方程為 ． 兩直線重合的充要條件是 ①， ②， 由①及 得 ，由①②得 ， 令 ，則 ，且
，

則 ，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)可知，

在 時恒成立，故 單調(diào)遞增，即 ，

即 ，可得函數(shù) 的圖象在點 、 處的切線重合， 的取值范圍是 ，故答案為：A.

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出分段函數(shù)f(x) 在A、B處的切線方程，再利用兩條直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等列出關(guān)系式，從而得出a的代數(shù)式，整理后再構(gòu)造 h(x)對其求導(dǎo)并利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)得到 h(x)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得出a的取值范圍。