Question

給出下列五個命題中，其中所有正確命題的序號是

 

．
①函數(shù)f（x）=

x2-3x

+3

x2-5x+4

的最小值是3．
②函數(shù)f（x）=|x²-4|，若f（m）=f（n），且0＜m＜n，則動點P（m，n）到直線5x+12y+39=0的最小距離是3-2

2

．
③命題“函數(shù)f（x）=xsinx+1，當(dāng)x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂）”是真命題．
④函數(shù)f（x）=

3

2

cos2ax+sinaxcosax-

3

2

sin2ax+1的最小正周期是1的充要條件是a=1．
⑤已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，

OA

、

OB

為不共線的向量，又

OC

=a1

OA

+a4026

OB

，若

CA

=λ

AB

，則S₄₀₂₆=2013．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值；
②利用圖象可知：f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，再利用f（m）=f（n）及其點到直線的距離公式即可得出；
③先判斷函數(shù)f（x）奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)研究x∈[0，

π

2

]時的單調(diào)性即可得出；
④利用倍角公式和兩角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
⑤利用向量共線定理和等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：在①中，函數(shù)的定義域是

x2-3x≥0 x2-5x+4≥0

解得：x∈（-∞，0]∪[4，+∞），
當(dāng)x∈（-∞，0]時，f(x)=

x2-3x

+3

x2-5x+4

是減函數(shù)，f（x）_min=f（0）=3，
當(dāng)x∈[4，+∞）時f(x)=

x2-3x

+3

x2-5x+4

是增函數(shù)，f（x）_min=f（4）=9＞3，
∴當(dāng)x∈（-∞，0]∪[4，+∞），其f（x）_min=3．
因此①正確．
在②中，由f（m）=f（n），且0＜m＜n，利用圖象可知：0＜m＜2，2＜n＜2

2

，
∴f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，
∵f（m）=f（n）∴4-m²=n²-4，即m²+n²=8，
則動點P（m，n）的軌跡是以O(shè)（0，0）為圓心，半徑r=2

2

的圓，
∴點P（m，n）到直線5x+12y+39=0的最小距離是d-r（d是點P到直線的距離），
∵d=

|5×0+12×0+39|

13

=3，
∴d-r=3-2

2

，
∵是點P的值取不到，∴d-r也不能取到最小值．
故②錯．
在③中，函數(shù)f（x）=xsinx+1是偶函數(shù)，且x∈[0，

π

2

]時，f′（x）=sinx+xcosx≥0，
即f（x）=xsinx+1是增函數(shù)，當(dāng)|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂）．
故③正確．
在④中，由函數(shù)f（x）=

3

2

cos2ax+sinaxcosax-

3

2

sin2ax+1=

3

2

cos2ax+

1

2

sin2ax+1，
整理得，f(x)=sin(2ax+

π

3

)+1，函數(shù)的周期T=

2π

|2a|

=1，a=±1，
故④錯誤．
在⑤中，由

CA

=λ

AB

知，A、B、C三點共線，且

OC

=a1

OA

+a4026

OB

，
∴a₁+a₄₀₂₆=1，∴S4026=

(a1+a4026)×4026

2

=2013，
故⑤正確．
綜上可知：只有①③⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的圖象、點到直線的距離公式、函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其周期公式、向量共線定理和等差數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力及其數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題．