Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n和1的等差中項，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

bnbn+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n是S_n和1的等差中項，得S_n=2a_n-1，由a_n=S_n-S_n-1可得數(shù)列遞推式，從而可判斷{a_n}是等比數(shù)列，可求a_n，由等差數(shù)列通項公式可求公差d；
（2）利用裂項相消法可求得T_n，根據(jù)T_n的表達式及{T_n}單調(diào)性可求其范圍；

解答： 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項，∴S_n=2a_n-1，
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1，
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
又Tn-Tn-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0，
∴數(shù)列{T_n}是一個遞增數(shù)列，
∴T_n≥T₁=

1

3

．
綜上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

．

點評：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等知識，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．