Question

4．某市政府欲在如圖所示的直角梯形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個(gè)休閑娛樂(lè)公園（如圖中陰影部分），性狀為直角梯形DEFG（線段ED和FG為兩條底邊），已知BC=2AB=2AD=4km，其中曲線AC是以A為頂點(diǎn)，AD為對(duì)稱軸的拋物線的一部分．
（Ⅰ）求曲線AC與CD、AD所圍成區(qū)域的面積．
（Ⅱ）求該公園的最大面積．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，求出曲線AC的解析式，則所求面積等于梯形面積減去曲邊三角形面積；
（2）設(shè)出F點(diǎn)橫坐標(biāo)a，將公園面積表示為a的函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）以AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（2，0），C（2，4），D（0，2）．
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×（2+4）×2=6．
曲線AC的方程為y=x²，（0≤x≤2）．
曲線AC與CD、AD所圍成區(qū)域的面積為6-${∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx$=6-$\frac{{x}^{3}}{3}$|$\underset{\stackrel{2}{\;}}{0}$=$\frac{10}{3}$．
（2）直線CD方程為$\frac{y-4}{2-4}=\frac{x-2}{0-2}$，即y=x+2，設(shè)點(diǎn)F橫坐標(biāo)為a，（0＜a＜$\sqrt{2}$）．
則F（a，a²），G（a，a+2），E（0，a²）．
∴DE=2-a²，EF=a，F(xiàn)G=a+2-a²，
則公園的面積為f（a）=$\frac{（2-{a}^{2}+a+2-{a}^{2}）a}{2}$=-a³+$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴f′（a）=-3a²+a+2．
令f′（a）=0得a₁=-$\frac{2}{3}$（舍），a₂=1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（a）＞0，當(dāng)1≤a≤$\sqrt{2}$時(shí)，f′（a）＜0，
∴f（a）在（0，1）上是增函數(shù)，在[1，$\sqrt{2}$）上是減函數(shù)．
∴f_max（a）=f（1）=$\frac{3}{2}$．
∴該公園的最大面積是$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的應(yīng)和函數(shù)的最大值，屬于中檔題．