Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法解答以下問(wèn)題：
（Ⅰ）證明：PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿(mǎn)足異面直線(xiàn)BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）以

AD

，

AC

，

AP

為x，y，z正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出PC與AD的方向向量，根據(jù)兩向量數(shù)量積為0，可得PC⊥AD；
（Ⅱ）求出平面PCD和平面PAC的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）由E為棱PA上的點(diǎn)，設(shè)AE=h∈[0，2]；結(jié)合異面直線(xiàn)BE與CD所成的角為30°，構(gòu)造關(guān)于h的方程，解方程可得AE的長(zhǎng)．

解答： 證明：（I）∵PA丄平面ABCD，AC丄AD，
∴以

AD

，

AC

，

AP

為x，y，z正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
又∵AB丄BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
D（2，0，0），C（0，1，0），B（-

1

2

，

1

2

，0），P（0，0，2），
∴

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），
∵

PC

•

AD

=0，
∴

PC

⊥

AD

．
解：（II）∵

PC

=（0，1，-2），

CD

=（2，-1，0），
設(shè)平面PCD的法向量

m

=（x，y，z）．
則

m • PC =0 m • CD =0

，即

y-2z=0 2x-y=0

，
令z=1，則

m

=（1，2，1），
又∵

AD

為平面PAC的法向量，
∴二面角A-PC-D的平面角θ滿(mǎn)足：
cosθ=

| AD • m |

| AD |•| m |

=

6

6

，
即二面角A-PC-D的余弦值

6

6

．…（8分）
（III）設(shè)AE=h∈[0，2]；則

AE

=(0，0，h)，

BE

=(

1

2

，-

1

2

，h)，

CD

=(2，-1，0)，
又異面直線(xiàn)BE與CD所成的角為30°，
∴

| BE • CD |

| BE |•| CD |

=

3

10+20h2

=cos30°=

3

2

，
解得：h=

10

10

即AE=

10

10

．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，求二面角，及異面直線(xiàn)的夾角，建立空間坐標(biāo)系是解答的關(guān)鍵．