Question

20．已知命題p：“方程x²-ax+a+3=0有解”，q：“$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程x²-ax+a+3=0有解，可得△≥0，解得a的取值范圍．命題q$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立，即a≤$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，解得a的取值范圍．由于p或q為真命題，p且q為假命題，命題p與q一真一假，分別求出，即可得到a的取值范圍

解答 解：命題p：方程x²-ax+a+3=0有解，可得，△=a²-4a-12≥0，解得a≤-2或a≥6．
命題q：“$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$-a≥0在[0，+∞）上恒成立，a≤$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，設(shè)f（x）=$\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，因?yàn)閒（x）在[0，+∞）為減函數(shù)，
所以f（x）＞0，
解得a≤0．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴命題p與q一真一假，
當(dāng)p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥6}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得a≥6，
當(dāng)p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜6}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤0，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、函數(shù)恒成立的問題、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．