Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，E為PB中點(diǎn)，PB=4

2

（Ⅰ）求證：平面APD⊥平面APB
（Ⅱ）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得PA⊥BA，由正方形性質(zhì)得DA⊥BA，由此能證明平面PAD⊥平面PAB．
（Ⅱ）由勾股定理求出PA=4，取AB中點(diǎn)F，得EF⊥平面ABCD，且EF=2，由此能求出三棱錐D-AEC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：AP⊥平面ABCD，
且AB?平面ABCD，∴PA⊥BA，
又∵底面ABCD為正方形，∴DA⊥BA，
又PA∩DA=A，PA，DA?平面PAD，
∴BA⊥平面PAD，又∵AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PB²=PA²+AB²，
∵AB=4，PB=4

2

，∴PA=4，
取AB中點(diǎn)F，則EF∥PA，
∴EF⊥平面ABCD，且EF=2
∴VD-AEC=VE-ADC=

1

3

S△ADC•EF=

1

3

×

1

2

×4×4×2=

16

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．