Question

18．已知M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0}，求x∈M時(shí)，f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{8}{x}$）的最值．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)不等式求出log₂x的范圍，利用換元法化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值．

解答 解：M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0}，
可得log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0，
即log₂²x-11log₂x+9≤0，
解得log₂x∈[$\frac{11-\sqrt{85}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$].$0＜\frac{11-\sqrt{85}}{2}＜1$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}＞2$
f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{8}{x}$）=（log₂x-1）（log₂x-3），
函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸log₂x=2，
所以當(dāng)log₂x=2時(shí)，f（x）取得最小值：-1；
當(dāng)log₂x=$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值：（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-1$）（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-3$）=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$×$\frac{5+\sqrt{85}}{2}$=$\frac{65+7\sqrt{85}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則以及二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．