Question

在二項式定理C

0 n

+C

1 n

x+C

2 n

x²+…+C

n n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的兩邊求導后，再取x=1得到一個恒等式，這個恒等式是

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：由題意可得

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1

C

n n

=n•（1+x）^n-1，再取x=1，即可得到一個恒等式．

解答： 解：二項式定理C

0 n

+C

1 n

x+C

2 n

x²+…+C

n n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的兩邊求導后，
可得

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1 

C

n n

=n•（1+x）^n-1，再取x=1得到一個恒等式，
可得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1，
故答案為：

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1．

點評：本題主要考查求函數(shù)的導數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．