Question

已知f_n（x）=（1+2

x

）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²項的系數(shù)；
（2）若p_n是f_n（x）展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和，數(shù)列{a_n}是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

a1a2…an+1

≤pn．

Answer 1

考點：第二數(shù)學(xué)歸納法,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：壓軸題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先確定函數(shù)g（x），再利用二項式定理可得g（x）中含x²項的系數(shù)；
（2）確定p_n的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，先證n=1時成立，再設(shè)n=k時成立，利用歸納假設(shè)證明n=k+1時成立即可．

解答： 解：（1）g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x）=（1+2

x

）⁴+（1+2

x

）⁵+（1+2

x

）⁶，
∴g（x）中含x²項的系數(shù)為 16

C

4 4

+5

C

4 5

×16+15

C

4 6

×16=336．（3分）
（2）證明：由題意，p_n=2^n-1．（5分）
①當(dāng)n=1時，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
當(dāng)n=k+1時，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
綜合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）對任意n∈N^*成立，
即

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

a1a2…an+1

≤pn對任意n∈N^*成立．（10分）

點評：本題考查二項式定理，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．