Question

點P（x，y）在不等式組

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面區(qū)域內，若點P（x，y）到直線y=kx-1（k＞0）的最大距離為2

2

，則k=

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出題中不等式組對應的平面區(qū)域，得到△ABC及其內部，而直線y=kx-1經(jīng)過定點（0，-1）是△ABC下方的一點，由此觀察圖形得到平面區(qū)域內的點B（0，3）到直線y=kx-1的距離最大．最后根據(jù)點到直線距離公式建立關于k的方程，解之即可得到實數(shù)k的值．

解答： 解：作出不等式組

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內部，其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）
∵直線y=kx-1經(jīng)過定點（0，-1），
∴△ABC必定在直線y=kx-1的上方時，
由此結合圖形加以觀察，得到平面區(qū)域內的點B（0，3）到直線y=kx-1的距離最大，
將直線y=kx-1化成一般式，得kx-y-1=0
因此，可得

|-3-1|

k2+(-1)2

=2

2

，解之即可得到k=±1，
∵k＞0，∴k=1
故答案為：1；

點評：本題給出平面區(qū)域內點到直線y=kx-1的距離最大值為2 

2

，求實數(shù)k的值，著重考查了點到直線的距離公式和簡單線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．