Question

14．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為C₁D₁，BC的中點
（1）求證EF∥平面BDD₁B₁；
（2）求異面直線EF與A₁C₁的夾角．

Answer 1

分析 （1）取BD中點O，連結(jié)OF，D₁O，推導(dǎo)出OFED₁是平行四邊形，從而EF∥D₁O，由此能證明EF∥平面BDD₁B₁．
（2）取A₁D₁中點G，連結(jié)GE，則A₁C₁與EF夾角為GE與EF的夾角，由此能求出異面直線EF與A₁C₁的夾角．

解答 （1）證明：取BD中點O，連結(jié)OF，D₁O，
∵△BDC中，O、F分別是BD、BC中點，
∴OF=$\frac{1}{2}DC$，且OF∥DC，
又∵正方體中DC∥D₁C₁，DC=D₁C₁，E是D₁C₁的中點，
∴OF∥D₁E，且OF=D₁E，
∴OFED₁是平行四邊形，
∴EF∥D₁O，
又∵EF?平面BDD₁B₁，D₁O?平面BDD₁B₁，
∴EF∥平面BDD₁B₁．
（2）解：取A₁D₁中點G，連結(jié)GE，則GE∥A₁C₁，且GE=$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$，
∴A₁C₁與EF夾角為GE與EF的夾角，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁=BC，G、F分別是A₁D₁、BC的中點，
∴GD₁CF為平行四邊形，∴GF=D₁C，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，則面對角線BD=D₁C=A₁C₁=$\sqrt{2}a$，
∴GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，GF=$\sqrt{2}a$，
由（1）知EF=D₁O=$\sqrt{D{{D}_{1}}^{2}+（\frac{BD}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴GE²+EF²=GF²，∴∠GEF=90°，
∴異面直線EF與A₁C₁的夾角為90°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．