Question

2．試推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．

Answer 1

分析 設兩定點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），動點P（x，y）到兩定點F₁，F(xiàn)₂）距離之和為定值2a（a＞c），代入兩點間距離公式，化簡可得橢圓的標準方程．

解答 解：到兩定點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）距離之和為定值2a（a＞c）的點P的軌跡為橢圓．…（2分）
設P（x，y），則$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}+\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$，
∴所以$2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}=\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$…（4分）
∴${（2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}）^2}={\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$a+\frac{c}{a}x=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}$（由定義可得x∈[-a，a]，所以$a+\frac{c}{a}x＞0）$…（6分）
∴${a^2}+2cx+\frac{c^2}{a^2}{x^2}={y^2}+{（x+c）^2}$
∴${y^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{x^2}={a^2}-{c^2}$，即$\frac{y^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{x^2}{a^2}=1$，
因為a＞c，不妨令a²-c²=b²，
∴焦點在x軸上的橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，兩點間距離公式，通過移項將等式兩邊各有一個根號，從而簡單方程是解答的關鍵．