Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱DD₁和AB上的點(diǎn)，則下列說法正確的是

 

．（填上所有正確命題的序號）
①A₁C⊥平面B₁CF；
②在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線；
③△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
④當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時，平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形；
⑤當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時，平面B₁EF與棱AD交于點(diǎn)P，則AP=

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由正方體的結(jié)構(gòu)特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關(guān)系直接判斷正誤即可得到答案．

解答： 解：對于①，A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，
因?yàn)锳₁C⊥平面AC₁D，而兩個平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．故①錯誤；
對于②，在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)總存在與平面B₁EF平行的直線，
此兩平面相交，一個面內(nèi)平行于兩個平面的交線一定平行于另一個平面，
故②正確；
對于③，△B₁EF在側(cè)面BCC₁B₁上 的正投影是面積為定值的三角形，
此是一個正確的結(jié)論，因?yàn)槠渫队叭�角形的一邊是棱BB₁，
而E點(diǎn)在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故③正確；
對于④當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時，
平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形B₁QEPF，故④正確；
對于⑤由面面平行的性質(zhì)定理可得EQ∥B₁F，
故D₁Q=

1

4

，B₁Q∥PF，故AP=

2

3

，故⑤正確．
故正確的命題有：②③④⑤．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關(guān)系的判定，涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)．