Question

點(diǎn)P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是該雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PF₂的中點(diǎn)．若△OMF₂的面積為10，則點(diǎn)P到該雙曲線的左準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A、3

  2

  +

  9

  5

• B、3

  5

  +

  9

  5

• C、3

  5

  +

  18

  5

• D、3

  2

  +

  18

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先利用三角形中線性質(zhì)計(jì)算焦點(diǎn)三角形PF₁F₂的面積，從而得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其左準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得所求距離

解答： 解：∵M(jìn)為線段PF₂的中點(diǎn)，△OMF₂的面積為10，∴△OPF₂的面積為20，
又∵O為F₁F₂的中點(diǎn)，∴△PF₁F₂的面積為40
設(shè)P（x，y），則40=

1

2

|F₁F₂|×|y|=

1

2

×10×|y|，∴y=±8，代入

x2

9

-

y2

16

=1得x=3

5

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=3

5

∵雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

=-

9

5

∴點(diǎn)P到該雙曲線的左準(zhǔn)線的距離為|3

5

-（-

9

5

）|=3

5

+

9

5

故選 B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形中的計(jì)算問題，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題