Question

某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元．根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購(gòu)進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個(gè)丌學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，Y（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn)．
（Ⅰ）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)丌學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的平均數(shù)和眾數(shù)；
（Ⅱ）將Y表示為X的函數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于4800元的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率，由此能求出這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的眾數(shù)和平均數(shù)．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)100≤x≤160時(shí)，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，當(dāng)160＜x≤200時(shí)，y=160×50=8000，由此能將Y表示為X的函數(shù)．
（Ⅲ）利用頻率分布直方圖能求出利潤(rùn)不少于4800元的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率直方圖得到：
需求量為110的頻率=0.005×20=0.1，
需求量為130的頻率=0.01×20=0.2，
需求量為150的頻率=0.015×20=0.3，
需求量為170的頻率=0.0125×20=0.25，
需求量為190的頻率=0.0075×20=0.15，
∴這個(gè)丌學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的眾數(shù)是150，
這個(gè)丌學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的平均數(shù)：

.

x

=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．
（Ⅱ）∵每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元，
∴當(dāng)100≤x≤160時(shí)，
y=50x-（160-x）•30=80x-4800，
當(dāng)160＜x≤200時(shí)，
y=160×50=8000，
∴y=

80x-4800，100≤x≤160 8000，160＜x≤200

．
（Ⅲ）∵利潤(rùn)不少于4800元，
∴80x-4800≥4800，解得x≥120，
∴由（Ⅰ）知利潤(rùn)不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，考查概率的估計(jì)，是中檔題，解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．