Question

已知函數(shù)g（x）=2aln（x+1）+x²-2x
（1）當a＞0時，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）當a=0時，在函數(shù)g（x）圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為P（x₀，y₀），試探究函數(shù)g（x）在Q（x₀，g（x₀））點處的切線與直線AB的位置關系？
（3）試判斷當a≠0時g（x）圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）證明函數(shù)Q點處的切線斜率與直線AB斜率相等即可；
（3）若g（x）滿足（2）中結論，有g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，設

1+x1

1+x2

=t，則*式整理得lnt=

2(t-1)

t+1

，問題轉化成該方程在（0，1）上是否有解，從而得解．

解答： 解：（1）由題知g′（x）=

2(x2-1+a)

x+1

，
當a-1≥0即a≥1時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜1，g′（x）=0，解得x=±

1-a

，函數(shù)g（x）在（-1，-

1-a

）和（

1-a

，+∞）上單調(diào)遞增；在（-

1-a

，

1-a

）上單調(diào)遞減；                …..（4分）
（2）g（x）=x²-2x，g′（x）=2x-2，g′（x₀）=2x₀-2，
∴k_AB=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=2x₀-2，
∴函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；         …．（7分）
（3）設A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），（-1＜x₁＜x₂），若g（x）滿足（2）中結論，有g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，
即ln

1+x1

1+x2

=

2(x1-x2)

2+x1+x2

*…．（9分）
設

1+x1

1+x2

=t，則*式整理得lnt=

2(t-1)

t+1

，問題轉化成該方程在（0，1）上是否有解；…（11分）
設函數(shù)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴函數(shù)h（t）在（0，1）單調(diào)遞增，即h（t）＜h（1）=0，
即方程lnt=

2(t-1)

t+1

在（0，1）上無解，
即函數(shù)g（x）不滿足（2）中結論；                                        …..（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生分析解決問題的 能力，屬于難題．