Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求|OR|+|OS|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）點M與點N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），設(shè)y₁＞0．由于點M在橢圓C上，y12=1-

x12

4

． 由已知T（-2，0），則

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．由此能求出圓T的方程．
（3）設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為：y-sinα=

sinα-sinθ

2cosα-2cosθ

，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．從而能求出|OR|+|OS|的最小值．

解答： 解：（1）依題意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，b=

4-3

=1，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）點M與點N關(guān)于x軸對稱，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，∴y12=1-

x12

4

． （*） …（4分）
由已知T（-2，0），則

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y12
=（x₁+2）²-（1-

x12

4

）=

5

4

x12+4x1+3
=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．…（6分）
由于-2＜x₁＜2，
故當x1=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r²=

13

25

．
故圓T的方程為：（x+2）²+y²=

13

25

．…（8分）
（3）設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
則直線MP的方程為：y-sinα=

sinα-sinθ

2cosα-2cosθ

，
令y=0，得xR=

2(sinαcosθ-cosαsinθ)

sinα-sinθ

，
同理：xS=

2(sinαcosθ+cosαsinθ)

sinα+sinθ

，…（12分）
故x_R•x_S=

4(sin2αcos2θ-cos2αsin2θ)

sin2α-sin2θ

．
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．
∴|OR|+|OS|≥2

|OR|•|OS|

=4，
∴|OR|+|OS|的最小值是4．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想．