Question

如圖，在三棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，△PAD是等邊三角形，PQ是∠APD線的角平分線，點M是線段PC的一個靠近點P的一個三分點，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：PA∥平面MQB
（2）求PB與平面PAD所成角大小
（3）求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：

分析：（1）先利用比例關(guān)系證明出PA∥ME，進而根據(jù)線面平行的判定定理證明出PA∥平面MGB．
（2）先利用線面垂直的判定定理證明出BQ⊥平面PAD，找到PB與平面PAD所成角的平面角，進而判斷出△PQB為等腰直角三角形，求得∠BPQ．
（3）做EF∥AD，連結(jié)ME，先證明出∠MEF為二面角M-BQ-C的平面角，進而利用平行比例關(guān)系求得PA=AD=PD，求得∠MEF．

解答： （1）證明：連接AC交QB與E，
∵AQ∥BC，且

AQ

BC

=

1

2

，
∴

AE

EC

=

1

2

，
∵M是線段PC的一個靠近點P的一個三分點，
∴

PM

MC

=

1

2

，
∴PA∥ME，
∵PA?平面MGB，ME?平面MGB，
∴PA∥平面MGB．
（2）連接BD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴AB=BD，
∵△PAD是等邊三角形，PQ是∠APD線的角平分線，
∴AQ=QD，
∴QB⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∴∠BPQ為所求角，
∵△PAD，△ABD均為正三角形，且邊長相等，
∴PQ=QB，
又∵PQ⊥QB，
∴∠BPQ=45°．

（3）∵QB⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴QB⊥PA，
∵PA∥EM，
∴QB⊥ME，
做EF∥AD，連結(jié)ME，則EF⊥QB，
∴∠MEF為二面角M-BQ-C的平面角，
∵ME∥PA，EF∥AD，M為三等分點，
∴F也是CD的一個三等分點，
∴ME=

2

3

PA，EF=

2

3

AD，MF=

2

3

PD，
∵PA=AD=PD，
∴EM=EF=MF，即∠MEF=60°．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理，直線與平面所成角的計算，面面成角的計算．在涉及二面角問題上，找到或作出二面角的平面角是關(guān)鍵．