已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若1+
tanA
tanB
=
2c
b
，則
b+c
a
的最大值為
 
．
考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析：利用正弦定理將1+
tanA
tanB
=
2c
b
，轉(zhuǎn)化為cosA=
1
2
，求得A，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得答案．
解答： 解：∵A、B、C為△ABC中的角，角A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c，
又1+
tanA
tanB
=
tanB+tanA
tanB
=
sinB
cosB
+
sinA
cosA
sinB
cosB
=
sin(A+B)
cosAcosB
×
cosB
sinB
=
sinC
sinBcosA
=
2c
b
，
由正弦定理得：
sinC
sinBcosA
=
c
bcosA
=
2c
b
，
∴cosA=
1
2
，又A為△ABC中的內(nèi)角，
∴A=
π
3
；
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
1
2

≥2bc-bc=bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”），
∴
bc
a2
的最大值為1．
b+c
a
=
(
b+c
a
)2
=
1+
3bc
a2
≤
4
=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查基本不等式，求得cosA=
1
2
是關(guān)鍵，屬于中檔題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OR|+|OS|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=3，a2=1，（an+2-2）（an-2）=2（n∈N*），則該數(shù)列前2014項(xiàng)的和為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

首項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}中，a4a5=-27，a3+a6=-26，則公比q的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（x-
1
2x
）6的二項(xiàng)展開中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四邊形ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為1，∠BAD=120°，
AE
=
AD
+t
AB
（其中t∈R且0＜t＜1），則當(dāng)|
AE
|最小時(shí)，
|
DE
|
|
EC
|
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在樣本頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其它10個(gè)長(zhǎng)方形面積和的
1
5
，且樣本容量為180，則中間一組的頻數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
與
b
的夾角為120°，且|
a
|=2，|
b
|=1，則|
a
+2
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x3+ax2+3bx（a，b∈R）是奇函數(shù)，且極小值為-2，則a-b=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案