Question

20．設(shè)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)為x_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{\sqrt{n}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$則{x_n}是（　�。�

• A． 當(dāng)n→∞時(shí)的無窮大量
• B． 當(dāng)n→∞時(shí)的無窮小量
• C． 有界變量
• D． 無界變量

Answer 1

分析 {x_n}有界：存在M＞0，對(duì)于任意的n，有|x_n|≤M．這也稱Xn是有界變量，極限：當(dāng)n→∞時(shí)，有$\lim_{n→∞}$x_n=a，{x_n}有極限⇒{x_n}有界．反之，若{x_n}有界，則{x_n}未必有極限．

解答 解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)$\frac{n+1}{\sqrt{n}}$=$\sqrt{n}$+$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
設(shè)$\sqrt{n}$=x，設(shè)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n+1}{\sqrt{n}}$=+∞，
即當(dāng)n≥1，且為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n→∞時(shí)的無窮大量
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x_n=$\frac{1}{n}$，當(dāng)n→∞，單調(diào)遞減，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)的特性，以及有界變量，屬于基礎(chǔ)題．