Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，已知x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的圖象的草圖，并由圖象直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)函數(shù)y=f（x）-K恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，直接寫出K的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的奇偶性求得當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，可得f（x）在R上的解析式．
（2）結(jié)合f（x）的解析式，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）函數(shù)y=f（x）-K恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得k的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，已知x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x，
則當(dāng)x＜0時(shí)，有-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x=f（x），
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象如圖所示：
由圖象可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-1，0]、[1，+∞）．
（3）當(dāng)函數(shù)y=f（x）-K恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)交點(diǎn)，
數(shù)形結(jié)合可得-1＜k＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．