Question

已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)是12cm，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？并且最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積公式,基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用扇形的弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)，通過(guò)扇形面積減去三角形面積即可求解該弧所在的弓形面積；
（2）利用扇形的周長(zhǎng)是12cm，以及畫出公式，即可表示扇形圓心角α為，以及扇形面積，利用二次函數(shù)求出扇形最大面積．

解答： 解：（1）設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S_弓，
∵α=60°=

π

3

，R=10，
∴l(xiāng)=αR=

10π

3

 （cm）．
S_弓=S_扇-S_△=

1

2

×

10π

3

×10-

1

2

×2×10×sin 

π

6

×10×cos 

π

6

=50（

π

3

-

3

2

） （cm²）．
（2）扇形周長(zhǎng)12=2R+l=2R+αR，
∴α=

12-2R

R

，
∴S_扇=

1

2

αR²=

1

2

•

12-2R

R

•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
當(dāng)且僅當(dāng)R=3cm，即α=2時(shí)，扇形面積最大，且最大面積是9cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形面積公式的應(yīng)用，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查基本知識(shí)與計(jì)算能力．