Question

已知△ABC的兩邊b、c是方程x²-kx+40=0的兩根，△ABC的面積是10

3

，周長(zhǎng)是20，試求∠A和k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：利用韋達(dá)定理求得bc的值及b+c的值，利用周長(zhǎng)分別表示a和b²+c²，進(jìn)人根據(jù)面積求得sinA，進(jìn)而求得A，然后利用余弦定理求得k．

解答： 解：∵b，c是方程x²-kx+40=0的兩根，
∴b+c=k，bc=40，
∴b²+c²=k²-2bc=k²-80
∵a+b+c=20
∴a=20-b-c=20-k
∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•40•sinA=10

3

∴sinA=

3

2

，
∵0＜∠A＜π，
∴∠A=

π

3

或

2π

3

當(dāng)∠A=

π

3

時(shí)，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

k2-80-(20-k)2

80

=

1

2

求得k=13，此時(shí)△=169-160＞0
當(dāng)∠A=

2π

3

時(shí)，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

k2-80-(20+k)2

80

=-

1

2

，
求得k=-11，此時(shí)△=121-160＜0，方程無(wú)解，與方程有兩根矛盾．應(yīng)舍去．
∴∠A=

π

3

，k=13．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)．解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是利用k表達(dá)出a，b²+c²，進(jìn)而利用余弦定理．