Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=c（c為常數(shù)），則稱函數(shù)f（x）在D上均值為c．下列五個函數(shù)：①y=x；②y=|x|；③y=x²；④y=$\frac{1}{x}$；⑤y=x+$\frac{1}{x}$．則滿足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)的序號是①．

Answer 1

分析 根據(jù)定義分別驗證對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)即可．

解答 解：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)．
①y=x，f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁+x₂=4，解得x₂=4-x₁，滿足唯一性，故成立．
②y=|x|，由 f（x₁）+f（x₂）=4得|x₁|+|x₂|=4，此時x₂=±（4-|x₁|），當(dāng)|x₁|＜4時，x₂有兩個值，不滿足唯一性，故不滿足條件．
③y=x²，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁²+x₂²=4，此時x₂=±$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，當(dāng)x₁²＜4時，x₂有兩個值，不滿足唯一性，故不滿足條件．
④y=$\frac{1}{x}$，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4，此時x₂=$\frac{{x}_{1}}{4{x}_{1}-1}$，當(dāng)x₁=$\frac{1}{4}$時，$\frac{{x}_{1}}{4{x}_{1}-1}$無意義，即不存在對應(yīng)的x₂值，不滿足存在性，故不滿足條件．
⑤y=x+$\frac{1}{x}$，由 f（x₁）+f（x₂）=4得x₁+x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4，解得x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4-（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$），當(dāng)（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）∈（2，6）時，不存在對應(yīng)的x₂值，不滿足存在性，故不滿足條件．
故答案為：①．

點評 本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理和判斷能力．綜合性較強．