Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（-3，2），過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為$\frac{3}{4}$的直線與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$和x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（c²=a²+b²）分別相交與點(diǎn)M，N，若以|MN|為直徑的圓過原點(diǎn)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-c），求出M，N的坐標(biāo)，利用以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，化簡(jiǎn)得到2a²=3b²①，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（-3，2），可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1$②，由①②可得b²=2，a²=3，即可求此雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-c），則M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{3^{2}}{4c}$），N（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{c}$），
∵以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$•（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+（-$\frac{3^{2}}{4c}$）•（-$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{c}$）=0，
∴（2a²-3b²）（8a²+3b²）=0，
∴2a²=3b²，①
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P（-3，2），
∴$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1$②，
由①②可得b²=2，a²=3，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求雙曲線的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出雙曲線的幾何量是關(guān)鍵．