Question

已知F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)E在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（1，2）
• C、（1，1+

  2

  ）
• D、（2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|EF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，直線AB方程為：x=-c，其中c=

a2+b2

因此，設(shè)A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)部
∴|EF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)右頂點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．