Question

已知雙曲線方程2x²-y²=2．
（1）求以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
（2）過點（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于Q₁，Q₂兩點，且Q₁，Q₂兩點的中點為（1，1）？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（2，1）是弦P₁P₂的中點，且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用點差法能求出以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程．
（2）假設(shè)直線l存在．由已知條件利用點差法求出直線l的方程為2x-y-1=0，聯(lián)立方程組

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推導(dǎo)出直線l不存在．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)A（2，1）是弦P₁P₂的中點，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在雙曲線上，∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴2×4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為：
y-1=4（x-2），整理得4x-y-7=0．
聯(lián)立

4x-y-7=0 2x2-y2=2

，得14x²-56x-47=0，
∵△=（-56）²+4×14×47＞0，
∴以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為4x-y-7=0．
（2）假設(shè)直線l存在．
設(shè)B（1，1）是弦MN的中點，
且Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵Q₁，Q₂在雙曲線上，∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯(lián)立方程組

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無交點，
∴直線l不存在．

點評：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法和根的判別式的合理運用．