Question

（1）已知f（x+2）=2x+3，求f（3）的值；
（2）已知f（x）為二次函數(shù)，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表達式；
（3）已知f(x)+2f(

1

x

)=3x，求f（x）的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元法：令x+2=t，可得f（t），代值計算可得；（2）由題意可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1比較系數(shù)可得a、b的方程組，解方程組可得a、b，可得解析式；（3）用

1

x

替換式中的x，連同原式可得f（x）和f（

1

x

）的方程組，消去f(

1

x

)可解方程組可得．

解答： 解：（1）令x+2=t，可得x=t-2，
代入已知可得f（t）=2（t-2）+3=2t-1，
∴f（3）=2×3-1=5
（2）由題意可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0可得c=0，
又f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
∴

2a+b=b+1 a+b=1

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x
（3）∵f(x)+2f(

1

x

)=3x，
∴f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

，
聯(lián)立消去f(

1

x

)可解得f(x)=

2

x

-x

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及換元法和待定系數(shù)法以及方程組的思想，屬基礎(chǔ)題．