Question

【題目】設(shè)是一個(gè)由和構(gòu)成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)字之和不小于，所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合記為，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，為、、，、、、、中的最大值.

（1）對(duì)如下數(shù)表，求的值；

（2）設(shè)數(shù)表，求的最小值；

（3）已知為正整數(shù)，對(duì)于所有的，，且的任意兩行中最多有列各數(shù)之和為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）計(jì)算出、、、、、的值，根據(jù)題中定義可得出的值；

（2）由題意知，中所有數(shù)字之和的最小值為，則中至少有個(gè)，只有當(dāng)每行或每列都放個(gè)，才能使得取到最小值，然后就某行某列分別放個(gè)、個(gè)、個(gè)，列舉出其他行（或列）的個(gè)數(shù)，得出的最小值，于此得出；

（3）先計(jì)算出數(shù)表中的元素之和為，由題意定義得出，可得出，然后分別就、、、、時(shí)就的任意兩行中數(shù)字之和為的列數(shù)進(jìn)行分析，可得出的值.

（1）由題意可得，，

；

（2）由題意可得，中所有數(shù)字之和不小于，即至少有個(gè).

而要使最小，則中只有個(gè)，此時(shí)如表排列.

下面利用來說明.

①當(dāng)某行某列全都是時(shí)，則其他行（或列）的個(gè)數(shù)分別為：、、、，此時(shí)；

②當(dāng)某行某列只放個(gè)時(shí)，則其他行（或列）的個(gè)數(shù)分別為：、、、，則；

③當(dāng)某行過某列放個(gè)時(shí)，則其他行（或列）的個(gè)數(shù)分別為：、、、，此時(shí).

由上可知，；

（3），中所有數(shù)字之和為，

由題意可得，解得.

①當(dāng)時(shí)，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，舍去；

②當(dāng)時(shí)，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，舍去；

③當(dāng)時(shí)，如下表所示，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，

合乎題意；

④當(dāng)或時(shí)，不成立.

綜上所述，.