Question

如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N （異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）在△AMN和△AMP中試用θ表示AM和AP²；
（2）設(shè)AP²=f（θ），化簡(jiǎn)f（θ）；
（3）θ為多少時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最�。�即工廠與村莊的距離AP最遠(yuǎn)），并求出AP的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理，即可θ表示AM和AP²；
（2）設(shè)AP²=f（θ），根據(jù)三角函數(shù)的公式，以及輔助角公式即可化簡(jiǎn)f（θ）；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，

MN

sin60°

=

AM

sin(120°-θ)

．
因?yàn)镸N=2，所以AM=

4 3

3

sin（120°-θ）．           …（2分）
在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．                 …（5分）
AP²=AM²+MP²-2 AM•MP•cos∠AMP
=

16

3

sin²（120°-θ）+4-2×2×

4 3

3

 sin（120°-θ） cos（60°+θ）    …（7分）
=

16

3

sin²（θ+60°）-

16 3

3

 sin（θ+60°） cos（θ+60°）+4
=

8

3

[1-cos （2θ+120°）]-

8 3

3

 sin（2θ+120°）+4
=-

8

3

[

3

sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+

20

3

=

20

3

-

16

3

sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．                 …（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°，即θ=60°時(shí)，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2

3

．
答：設(shè)計(jì)∠AMN為60°時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最�。�…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，利用正弦定理以及三角函數(shù)的三角公式是解決本題的關(guān)鍵．