Question

如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N （異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．設∠AMN=θ．
（1）在△AMN和△AMP中試用θ表示AM和AP²；
（2）設AP²=f（θ），化簡f（θ）；
（3）θ為多少時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離AP最遠），并求出AP的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理的應用

專題：解三角形

分析：（1）根據正弦定理，即可θ表示AM和AP²；
（2）設AP²=f（θ），根據三角函數的公式，以及輔助角公式即可化簡f（θ）；
（3）根據三角函數的圖象和性質，即可求出函數的最值．

解答： 解：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，

MN

sin60°

=

AM

sin(120°-θ)

．
因為MN=2，所以AM=

4 3

3

sin（120°-θ）．           …（2分）
在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．                 …（5分）
AP²=AM²+MP²-2 AM•MP•cos∠AMP
=

16

3

sin²（120°-θ）+4-2×2×

4 3

3

 sin（120°-θ） cos（60°+θ）    …（7分）
=

16

3

sin²（θ+60°）-

16 3

3

 sin（θ+60°） cos（θ+60°）+4
=

8

3

[1-cos （2θ+120°）]-

8 3

3

 sin（2θ+120°）+4
=-

8

3

[

3

sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+

20

3

=

20

3

-

16

3

sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．                 …（11分）
當且僅當2θ+150°=270°，即θ=60°時，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2

3

．
答：設計∠AMN為60°時，工廠產生的噪聲對居民的影響最�。�…（13分）

點評：本題主要考查與三角函數有關的應用問題，利用正弦定理以及三角函數的三角公式是解決本題的關鍵．