已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)P（1，
3
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，求|MN|的長．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-1
=0，把點(diǎn)P（1，
3
2
）代入，能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件推導(dǎo)出直線l的方程為：y=x-1，聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
，得：7x2-8x-8=0，利用橢圓弦長公式能求出|MN|．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)P（1，
3
2
），
∴設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-1
=0，
把點(diǎn)P（1，
3
2
）代入，得：
1
a2
+
9
4
a2-1
=1，整理，得4a4-17a2+4=0，
解得a2=4，或a2=
1
4
（舍），
∴橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)F1（-1，0），右焦點(diǎn)F2（1，0），
∵過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°，
∴直線l的方程為：y=x-1，
聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
，消去y，并整理，得：7x2-8x-8=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
8
7
，x1x2=-
8
7
，
∴|MN|=
(1+1)[(
8
7
)2-4×(-
8
7
)]
=
24
7
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要注意待定系數(shù)法和橢圓弦長公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個空間幾何體的表面積等于（　�。�
A、100π
B、
100π
3
C、25π
D、
25π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如圖．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），過F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，試確定
FM
•
FN
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0）、F2（1，0），點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線E：y2=2px（p＞0）與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)△OMN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取得最大值時，求P的值．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)F2作任意直線l與拋物線E相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，則直線AF1與直線BF1的斜率之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
6
3
，右焦點(diǎn)F到直線
x
a
+
y
b
=0的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M，N為橢圓的長軸的兩個端點(diǎn)，作不平行于坐標(biāo)軸的割線AB，若滿足∠AFM=∠BFN，求證：割線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上兩個不同的點(diǎn)，且OA⊥OB，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)直線l1：y=2x與直線l2：x+y=6交于P點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線m過P點(diǎn)且與直線l0：x-2y=0垂直時，求直線m的方程；
（2）當(dāng)直線m過P點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為2時，求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓P過定點(diǎn)A（-3，0），且與圓B：（x-3）2+y2=64相切，點(diǎn)P的軌跡為曲線C；設(shè)Q為曲線C上（不在x軸上）的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使
AM
•
AN
=λ
PQ
2總成立，若存在，求λ；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求△MNQ的面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，兩條相交線段AB、PQ的四個端點(diǎn)都在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上，其中，直線AB的方程為x=m，直線PQ的方程為y=
1
2
x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常數(shù)m，當(dāng)n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ？

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