Question

已知函數(shù)f（x）

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，則方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)可能為

 

（將正確命題的序號(hào)全部填入）
①1個(gè)     ②2個(gè)     ③3個(gè)     ④4個(gè)     ⑤5 個(gè)    ⑥6個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先畫(huà)出函數(shù)f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的圖象，然后令t=2x²+x，討論a的范圍，得到y(tǒng)=a與y=f（t）的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再結(jié)合交點(diǎn)的值討論t=2x²+x的解得個(gè)數(shù)，即可求出方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)可能．

解答： 解：畫(huà)出函數(shù)f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的圖象如右圖，
令t=2x²+x，
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，y=a與y=f（t）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
當(dāng)2x²+x=t₂時(shí)，該方程有兩解，2x²+x=t₃時(shí)，該方程也有兩解，2x²+x=t₁時(shí)，該方程有0個(gè)解或1個(gè)解或2個(gè)解，
∴當(dāng)2＜a≤3時(shí)，方程f（2x²+x）=a的根的個(gè)數(shù)可能為4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)；
當(dāng)a＞3時(shí)，y=a與y=f（t）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
當(dāng)2x²+x=t₄時(shí)，該方程有兩解，2x²+x=t₅時(shí)，該方程也有兩解，
∴當(dāng)a＞3時(shí)，方程f（2x²+x）=a的根的個(gè)數(shù)為4個(gè)；
綜上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)可能為4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)．
故答案為：④⑤⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，以及符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了作圖的能力，分析問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化的思想以及分類(lèi)討論的思想．屬于中檔題．