Question

已知點(diǎn)P是由不等式組

x≥0 y≥0 x+y≥1

所確定的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線2x+y=0上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)記為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|的最小值為（　�。�

• A、

  2

  10

• B、

  5

  20

• C、

  2

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合向量的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域：
設(shè)P（x，y），
∵Q在直線2x+y=0上，
∴設(shè)Q（a，-2a），
則

OP

+

OQ

=（x+a，y-2a），
則

OM

=

1

2

（

OP

+

OQ

）=

1

2

（x+a，y-2a），
則|

OM

|=

1

4

(x+a)2+(y-2a)2

，
設(shè)z=

(x+a)2+(y-2a)2

，
則z的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)點(diǎn)Q的距離的最小值，
由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)（0，1）時(shí)，
Q為P在直線2x+y=0的垂足時(shí)，
z取得最小值為d=

|1|

22+12

=

1

5

=

5

5

，
此時(shí)|OM|的最小值為

1

4

×

5

5

=

5

20

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用平面向量的基本運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．