Question

9．如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，M，N分別是AB，AC邊上的點，AM=AN，D是BC的中點，AD與MN交于點E，將△ABD沿AD折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCD，其中$BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

（1）證明：CD⊥平面ABD；
（2）當$AM=\frac{2}{3}$時，求三棱錐E-MDN的體積V_E-MDN．

Answer 1

分析 （1）由BD=CD=$\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得BD⊥CD，且AD⊥CD，可推得CD⊥平面ABD；
（2）由AM=AN可知$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$，從而可求得ME，EN，ED的長，且ME、EN、ED兩兩垂直，V_E-MDN=V_棱錐D-EMN．

解答 解：（1）∵三角形ABC等邊三角形，D是BC的中點，
∴AD⊥CD，BD=CD=$\frac{1}{2}$，
∵BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵AD∩BD=D，AD?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CD⊥平面ABD．
（2）∵AM=AN，AB=AC=1，
∴ME∥BD，EN∥CD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$=$\frac{AN}{AC}$，
ME⊥EN，DE⊥ME，DE⊥EN，
∴ME=EN=$\frac{1}{3}$，
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-ED}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵V_棱錐E-MDN=V_棱錐D-EMN=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×EM×EN）×ED=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{324}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，找到合理的底面和高是解決體的關(guān)鍵．