Question

17．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁點的中點，且AA₁=AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求直線CE與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC₁，且AC₁∩A₁C=F，連結(jié)DF，由三角形中位線定理得DF∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推導(dǎo)出DE⊥平面A₁CD，得到∠DCE是直線CE與平面A₁CD所成角，且DE⊥CD，由此能求出直線CE與平面A₁CD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)AC₁，且AC₁∩A₁C=F，
矩形ACC₁A₁中，F(xiàn)為AC₁中點，又D為AB的中點，
∴連結(jié)DF，則DF∥BC₁，
∵DF?平面A₁CD，且BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：∵AC=BC，且D為AB的中點，
∴CD⊥AB，又A₁A⊥CD，且A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD?平面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁，且交線為A₁D，
∴在矩形ABB₁A₁中，連結(jié)DE，由已知得DE⊥A₁D，
∴DE⊥平面A₁CD，
∴CD是CE在平面A₁CD內(nèi)的射影，
∴∠DCE是直線CE與平面A₁CD所成角，且DE⊥CD，
設(shè)AC=BC=1，則CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin$∠DCE=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線CE與平面A₁CD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．