Question

如圖△ABC為直角三形，∠C=90°，

OA

=(0，-4)，點(diǎn)M在y軸上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)．
（1）求點(diǎn)B的軌跡E的方程；
（2）過點(diǎn)F(0，

1

2

)的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)N(0，a)(a＜0)，

NP

與

NQ

的夾角為θ，若θ≤

π

2

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)以點(diǎn)N（0，m）為圓心，以

2

為半徑的圓與曲線E在第一象限的交點(diǎn)H，若圓在點(diǎn)H處的切線與曲線E在點(diǎn)H處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，可得M是BC的中點(diǎn)，利用∠C=90°，結(jié)合向量的數(shù)量積為0，建立方程化簡可求點(diǎn)B的軌跡E的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

NP

•

NQ

≥0，可得k2≥

a2-a- 3 4

2a

恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）由題意知，NH是曲線C的切線，設(shè)H（x₀，y₀），可得

y0-m

x0

=x0，結(jié)合H在圓與拋物線上，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴M是BC的中點(diǎn)．
設(shè)B（x，y），則M(0，

y

2

)，C(-x，0)，

CB

=(2x，y)，

CA

=(x，-4)．
∵∠C=90°，∴CB⊥CA，

CB

•

CA

=0，(2x，y)•(x，-4)=0，
∴x²=2y．
故點(diǎn)B的軌跡E的方程為x²=2y（x≠0）…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+

1

2

，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

NP

=(x1，y1-a)，

NQ

=(x2，y2-a)
由

y=kx+ 1 2 x2=2y

，得x²-2kx-1=0，△=4k²+1＞0恒成立．
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-1．
由

NP

•

NQ

≥0，得（x₁，y₁-a）•（x₂，y₂-a）≥0，
即x1x2+y1y2-a(y1+y2)+a2≥0．
又∵y=kx+

1

2

，
∴x1x2(1+k2)+(

1

2

k-ak)(x1+x2)+

1

4

-a+a2≥0，
∴k2≥

a2-a- 3 4

2a

恒成立，∴

a2-a- 3 4

2a

≤0，
又a＜0，∴a≤-

1

2

．…（9分）
（3）由題意知，NH是曲線C的切線，設(shè)H（x₀，y₀），則y′|_x=x0，
∴

y0-m

x0

=x0．
又∵

x

2 0

+(y0-m)2=2，

x

2 0

=2y0，
∴

x

2 0

=-2m≥0，∴m≤0．
消去x₀，y₀，得2m²-m-1=0，
解得m=1或-

1

2

．
又∵m≤0，∴m=-

1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．